Násobení mnohočlenů

Každý s každým

Sčítat mnohočleny umíš. Dnes je vynásobíš. Základní pohyb má jméno roznásobení: číslo nebo člen před závorkou se vynásobí s každým členem uvnitř.

3 · (x + 4) = 3x + 12. Trojka navštívila oba členy. Ani jeden nesměla vynechat.

Proč to funguje? 3 · (x + 4) znamená tři balíčky, v každém x + 4. Tři balíčky = tři x a tři čtyřky. Selský rozum, žádná magie.

Druhý krok dneška: dvě závorky. (x + 2)(x + 3) se násobí stylem „každý s každým“ — každý člen první závorky s každým členem druhé. Vzniknou čtyři součiny, pak se sloučí.

Roznásobování je řemeslo. Nepotřebuje nápad, potřebuje pořádek: šipky, mezikroky, kontrolu. Kdo si kreslí šipky, nevynechá člena. Kdo počítá z hlavy, vynechá.

Sofie počítá obsah zahrady, kterou chtějí rozšířit. Teď měří x metrů na šířku a x + 3 na délku. Po rozšíření bude šířka x + 2. „Obsah bude (x + 2) · (x + 3),“ píše. Adam nakoukne: „A to je kolik?“ Sofie kreslí obdélník a rozřeže ho čarami na čtyři pole: x · x, x · 3, 2 · x a 2 · 3. „Čtyři kusy: x² + 3x + 2x + 6. Sloučím: x² + 5x + 6.“ Adam kouká na obrázek: „Takže násobení závorek je jen rozřezaný obdélník?“ Přesně tak.

Jak roznásobit krok za krokem

Člen krát závorka:

1. Nakresli šipky od členu před závorkou ke každému členu uvnitř.
2. Vynásob po šipkách: 5 · (2x − 3) = 5 · 2x + 5 · (−3) = 10x − 15.
3. Znaménka jedou s členy: minus tři krát pět je minus patnáct.

S písmenem to jede stejně: x · (x + 4) = x² + 4x. Pamatuj: x · x = x².

Závorka krát závorka — každý s každým:

(x + 2)(x + 3):

1. První člen první závorky s oběma ve druhé: x · x = x², x · 3 = 3x.
2. Druhý člen první závorky s oběma ve druhé: 2 · x = 2x, 2 · 3 = 6.
3. Sepiš všechny čtyři: x² + 3x + 2x + 6.
4. Sluč stejné členy: x² + 5x + 6.

Kontrolní otázka na konci: dvoučlen krát dvoučlen = čtyři součiny před sloučením. Trojčlen krát dvoučlen = šest. Počet součinů = počet členů krát počet členů.

Příklad 1: 4(3x − 5)

Šipky od čtyřky k oběma členům:

4 · 3x = 12x a 4 · (−5) = −20.

Výsledek: 12x − 20.

Kontrola dosazením x = 2: zadání 4 · (6 − 5) = 4 · 1 = 4. Výsledek 24 − 20 = 4. Sedí. Tahle kontrola trvá deset sekund a chytí skoro každou chybu ve znaménku.

Příklad 2: (x + 5)(x − 2)

Každý s každým, čtyři součiny:

x · x = x², x · (−2) = −2x, 5 · x = 5x, 5 · (−2) = −10.

Sepíšu: x² − 2x + 5x − 10.

Sloučím prostřední členy: −2x + 5x = 3x.

Výsledek: x² + 3x − 10.

Znaménka jsem nesl(a) s členy celou dobu: minus dvojka zůstala minus dvojkou v obou svých součinech.

Příklad 3: (2x + 3)(x + 4)

Koeficient u x nic nemění — pořád každý s každým:

2x · x = 2x², 2x · 4 = 8x, 3 · x = 3x, 3 · 4 = 12.

Sepíšu: 2x² + 8x + 3x + 12.

Sloučím: 8x + 3x = 11x.

Výsledek: 2x² + 11x + 12.

Pozor na první součin: 2x · x = 2x², ne 2x. Násobí se i písmena: x · x = x².

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si mocniny — při násobení závorek potkáš x · x = x² v každém příkladu.

Procvičit příklady

Na papír

Šipky, čtyři součiny, sloučení. Pořádek vyhrává nad rychlostí.

1. Roznásob: 6(x + 2), 3(2a − 5), x(x + 7). U každého nakresli šipky.

2. Vynásob (x + 3)(x + 4). Vypiš všechny čtyři součiny, pak sluč.

3. Vynásob (x − 6)(x + 2) a udělej kontrolu dosazením x = 1 do zadání i výsledku.

4. Zahrada měří (x + 5) na délku a (x + 1) na šířku. Napiš a roznásob výraz pro její obsah.

Teď ty 💪

1. Člen před závorkou násobím s každým členem uvnitř.
2. U dvou dvoučlenů mi vzniknou čtyři součiny.
3. Znaménka nosím s členy a výsledek kontroluju dosazením.

Co si z téhle lekce odnést

• Roznásobení: člen před závorkou krát každý člen uvnitř.
• Dvě závorky: každý s každým, pak sloučit.
• x · x = x² — písmena se násobí taky.
• Počet součinů = členy krát členy. Míň součinů = chyba.
• Kontrola dosazením x = 1 nebo x = 2 chytí většinu chyb.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Warunki korzystania z treści